Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат

Министерство Общего и проф технического образования

Столичный Муниципальный Технический Институт МАМИ

Кафедра: Теоретическая механика

Реферат на тему:

Дифференциальные уравнения движения точки.

Решение задач динамики точки.

Студент: Зиновьев М.Ю.

Группа: 3-АиУ-1

Педагог:


Введение в динамику. Законы динамики.

Главные понятия и определения.

Динамикой именуется раздел механики, в каком изучается движение вещественных тел под действием Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат сил.

Движение с чисто геометрической точки зрения рассматривается в кинематике. Отличие динамики заключается в том, что при исследовании движения тел принимают во внимание как действующие на их силы, так и инертность самих вещественных тел.

Понятие о силе, как об основной мере механического деяния, оказываемого на вещественное тело Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат, было введено в статике. Но статика не касается вопроса о вероятных конфигурациях действующих сил со временем., а при решении задач считали все силы неизменными. Меж тем на движущееся тело вместе с неизменными силами действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела меняются. При всем этом переменными могут быть Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат и данные (активные) силы (Активной обычно именуют силу, которая, начав действовать на покоящееся тело, может привести его в движение) и реакции связей.

Как указывает опыт, переменные силы могут спецефическим образом зависеть от времени, положения тела и его скорости. А именно, от времени зависит сила тяги электровоза при постепенном Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат выключении либо включении реостата либо сила, вызывающая колебания фундамента при работе мотора с плохо центрированным валом; от положения тела зависит Ньютонова сила тяготения либо сила упругости пружины; от скорости зависят силы сопротивления среды. В заключение отметим, что все введенные в статике понятия и приобретенные там результаты относятся в равной Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат мере и к переменным силам, потому что условие всепостоянства сил нигде в статике не использовалось.

Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорости точек тела меняются не одномоментно, а равномерно и тем медлительнее Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат, чем больше инертность этого тела. Количественной мерой инертности вещественного тела является физическая величина, именуемая массой тела (Масса является еще мерой гравитационных параметров тела), В традиционной механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и неизменная для каждого данного тела.

Не считая суммарной массы движение тела зависит еще в общем случае Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат от формы тела, поточнее от обоюдного расположения образующих его частиц, т.е. от рассредотачивания масс в теле.

Чтоб при начальном исследовании динамики отвлечься от учета формы тела (рассредотачивания масс), вводят абстрактное понятие о вещественной точке, как о точке, обладающей массой, и начинают исследование динамики с динамики вещественной точки.

Из кинематики Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат понятно, что движение тела слагается в общем случае из поступательного и вращательного. При решении определенных задач вещественное тело можно рассматривать как вещественную точку в тех случаях, когда по условиям задачки допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения тела. К примеру, вещественной точкой можно считать планетку Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат при исследовании ее движения вокруг Солнца либо артиллерийский снаряд при определении дальности его полета и т.п. Соответственно поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как вещественную точку с массой, равной массе всего тела.

Учить динамику обычно начинают с динамики вещественной точки, потому что естественно, что исследование движения одной точки Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат должно предшествовать исследованию движения системы точек и, а именно, твердого тела.

ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ.

Задачки ДИНАМИКИ Вещественной ТОЧКИ

В базе динамики лежат законы, установленные методом обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений, посвященных исследованию движения тел, и испытанные широкой общественно-производственной практикой населения земли. Систематически законы динамики были в первый раз изложены Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат И. Ньютоном в его традиционном сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687г. (Есть красивый российский перевод, изготовленный А. Н. Крымовым. См.: Собрание трудов акад. А. Н. Крылова, т. VII. М.— Л., 1936). Сконструировать эти законы можно последующим образом.

1-ый закон (закон инерции):

изолированная от наружных воздействий вещественная Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат точка сохраняет свое состояние покоя либо равномерного прямолинейного движения до того времени, пока приложенные силы не принудят ее поменять это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, именуется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из главных параметров материи — пребывать постоянно в движении. Принципиально отметить, что развитие динамики как науки стало вероятным Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат только после того, как Галилеем был открыт этот закон (1638 г.) и тем опровергнута господствовавшая со времен Аристотеля точка зрения о том, что движение тела может происходить только под действием силы.

Значимым является вопрос о том, по отношению к какой системе отсчета справедлив закон инерции. Ньютон подразумевал, что существует Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат некоторое недвижное (абсолютное) место, по отношению к которому этот закон производится. Но по современным мнениям место — это форма существования материи, и какого-то абсолютного места, характеристики которого не зависят от передвигающейся в нем материи, не существует. Меж тем, так как закон имеет опытнейшее происхождение (еще Галилей указал, что к Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат этому закону можно придти, рассматривая движение шарика по наклонной плоскости со все убывающим углом наклона), должны существовать системы отсчета, в каких с той либо другой степенью приближения данный закон будет производиться. В связи с этим в механике, переходя, как обычно, к научной абстракции, вводят понятие о системе отсчета, в Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат какой справедлив закон инерции, постулируют ее существование и именуют инерциальной системой отсчета.

Можно ли данную реальную систему отсчета при решении тех либо других задач механики рассматривать как инерциальную, устанавливается методом проверки того, в какой мере результаты, приобретенные в предположении, что эта система является инерциальной, подтверждаются опытом. По данным Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат опыта для нашей Галлактики инерциальной с высочайшей степенью точности можно считать систему отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси ориентированы на так именуемые недвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, агрессивно связанную с Землей.

2-ой закон (основной Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат закон динамики)

устанавливает, как меняется скорость точки при действии на нее какой-либо силы, а конкретно: произведение массы вещественной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством

(1)

При всем этом меж модулями Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат ускорения и силы имеет место зависимость

та= F . (1')

2-ой закон динамики, как и 1-ый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона конкретно видно, что мерой инертности вещественной точки является ее масса, так как при действии данной силы точка, масса которой больше, т. е. более инертная Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат, получит наименьшее ускорение и напротив.

Если на точку действует сразу несколько сил, то они, как это следует из закона параллелограмма сил, будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей , равной геометрической сумме данных сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, воспринимает в данном случае вид

либо (2)

Тот же итог можно получить, используя Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат заместо закона параллелограмма закон независимости деяния сил, согласно которому при одновременном действии на точку нескольких сил любая из их докладывает точке такое же ускорение, какое она сказала бы, действуя одна.

3-ий закон (закон равенства деяния и противодействия) устанавливает нрав механического взаимодействия меж вещественными телами. Для 2-ух вещественных Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат точек он говорит:

две вещественные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными повдоль прямой, соединяющей эти точки, в обратные стороны.

Этим законом пользуются в статике. Он играет огромную роль в динамике системы вещественных точек, как устанавливающий зависимость меж действующими на эти точки внутренними силами.

При Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат содействии 2-ух свободных вещественных точек, они, согласно третьему и второму законам динамики, будут двигаться с ускорениями, назад пропорциональными их массам.

Задачки динамики . Для свободной вещественной точки задачками динамики являются последующие:

1) зная закон движения точки, найти действующую на нее силу (1-ая задачка динамики);

2) 2) зная действующие на точку силы, найти закон Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат движения точки (2-ая, либо основная, задачка динамики).

Для несвободной вещественной точки, т. е. точки, на которую наложена связь, вынуждающая ее двигаться по данной поверхности либо кривой, 1-ая задачка динамики обычно заключается в том, чтоб, зная движение точки и действующие на нее активные силы, найти реакцию связи. 2-ая (основная) задачка динамики Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат при несвободном движении распадается на две и заключается в том, чтоб, зная действующие на точку активные силы, найти: а) закон движения точки, б) реакцию наложенной связи.

СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ

Для измерения всех механических величин оказывается достаточным ввести независящие друг от друга единицы измерения каких-нибудь 3-х величин. 2-мя Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат из их принято считать единицы длины и времени. В качестве третьей оказывается более комфортным избрать единицу измерения либо массы, либо силы. Потому что эти величины связаны равенством (1), то произвольно единицу измерения каждой из их избрать нельзя. Отсюда вытекает возможность введения в механике 2-ух принципно хороших друг от друга систем Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат единиц.

1-ый тип систем единиц.

В этих системах за главные принимаются единицы длины, времени и массы, а сила измеряется производной единицей.

К таким системам относится Интернациональная система единиц измерения физических величин (СИ), в какой основными единицами измерения механических величин являются метр (м), килограмм массы (кг) и секунда (с). Единицей же измерения Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат силы является производная единица — 1 ньютон (Н);

1 Н — это сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение 1 м/с2 (1Н==1 кг-м/с2 ). О том, что собой представляют 1 м, 1 кг и 1 с, понятно из курса физики. Интернациональная система единиц (СИ) введена в Рф как желательная с 1961 г

2-ой тип систем единиц.

В этих Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат системах за главные принимаются единицы длины, времени и силы, а масса измеряется производной единицей.

К таким системам относится имевшая огромное распространение в технике система МКГСС, в какой основными единицами являются метр (м), килограмм силы (кГ) и секунда (с). Единицей измерения массы в этой системе будет 1 кГс2 / м, т. е Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат. масса, которой сила в 1 кГ докладывает ускорение 1 м/с2 .

Соотношение меж единицами силы в системах СИ и МКГСС таково: 1 кГ=9,81 Н либо 1 Н=0,102 кГ.

В заключение стоит отметить, что нужно различать понятия размерность величины и единица ее измерения. Размерность определяется только видом уравнения, выражающего значение данной величины Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат, а единица измерения зависит еще от выбора главных единиц. К примеру, если, как это принято, обозначать размерность длины, времени и массы соответственно знаками L, Т и М, то размерность скорости L/Т, а единицей измерения может быть 1 м/с, 1 км/ч и т. д.

Главные ВИДЫ СИЛ

Разглядим последующие неизменные Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат либо переменные силы (законы конфигурации переменных сил, обычно, инсталлируются опытным методом).

Сила тяжести . Это неизменная сила , действующая на хоть какое тело, находящееся поблизости земной поверхности. Модуль силы тяжести равен весу тела.

Опытом установлено, что под действием силы хоть какое тело при свободном падении на Землю (с маленький высоты Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат и в безвоздушном пространстве) имеет одно и то же ускорение , называемое ускорением свободного падения, а время от времени ускорением силы тяжести ( Закон свободного падения тел был открыт Галилеем. Значение q в различных местах земной поверхности различно; оно находится в зависимости от географической широты места над уровнем моря. На широте Москвы Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат (на уровне моря) q= 9,8156м/с2

Тогда из уравнения (1') следует, что

Р=т q либо т=Р/ q . (3)

Эти равенства позволяют, зная массу тела, найти его вес (модуль действующей на него силы тяжести) либо, зная вес тела, найти его массу. Вес тела либо сила тяжести, как и величина q, меняются Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат с конфигурацией широты и высоты над уровнем моря; масса же является для данного тела величиной постоянной.

Сила трения . Так будем коротко именовать силу трения скольжения, действующую (при отсутствии водянистой смазки) на движущееся тело. Ее модуль определяется равенством

F=f*N (4)

где f — коэффициент трения, который будем считать неизменным Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат;

N — обычная реакция.

Сила тяготения . Это сила, с которой два вещественных тела притягиваются друг к другу по закону глобального тяготения, открытому Ньютоном. Сила тяготения находится в зависимости от расстояния и для 2-ух вещественных точек с массами и , находящихся на расстоянии r друг от друга, выражается равенством

где f—гравитационная неизменная (в СИ Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат/=6,673* ).

Сила упругости . Эта сила тоже находится в зависимости от расстояния. Ее значение можно найти исходя из закона Гука, согласно которому напряжение (сила, отнесенная к единице площади) пропорционально деформации. А именно, для силы упругости пружины выходит значение

F=cl (6)

где l — удлинение (либо сжатие) пружины; с — так именуемый Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат коэффициент жесткости пружины (в СИ измеряется в Н/м).

Сила вязкого трения . Такая сила, зависящая от скорости, действует на тело при его неспешном движении в очень вязкой среде (либо при наличии водянистой смазки) и может быть выражена равенством

R=mv (7)

где v — скорость тела; m, — коэффициент сопротивления. Зависимость вида (7) можно получить исходя из Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат закона вязкого трения, открытого Ньютоном.

Сила аэродинамического (гидродинамического) сопротивления . Эта сила тоже находится в зависимости от скорости и действует на тело, движущееся в таковой, к примеру, среде, как воздух либо вода. Обычно ее величину выражают равенством

(8)

где р — плотность среды; S — площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (площадь Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат миделя);

Сx:—безразмерный коэффициент сопротивления, определяемый обычно экспериментально и зависящий от формы тела и от того, как оно нацелено при движении.

Инертная и гравитационная массы.

Для экспериментального определения массы данного тела можно исходить из закона (1), куда масса заходит как мера инертности и именуется потому инертной массой. Но можно исходить Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат и из закона (5), куда масса заходит как мера гравитационных параметров тела и именуется соответственно гравитационной (либо тяжеленной) массой. В принципе ни откуда не следует, что инертная и гравитационная массы представляют собой одну и ту же величину. Но целым рядом тестов установлено, что значения обеих масс совпадают с очень Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат высочайшей степенью точности (по опытам, проделанным русскими физиками (1971 г.),— с точностью до ). Этот экспериментально установленный факт именуют принципом эквивалентности. Эйнштейн положил его в базу собственной общей теории относительности (теории тяготения).

Исходя из изложенного, в механике пользуются единым термином «масса», определяя массу как меру инертности тела и его гравитационных параметров.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Вещественной ТОЧКИ

Для решения задач динамики точки будем воспользоваться одной из последующих 2-ух систем уравнений.

Уравнения в декартовых координатах .

Из кинематики понятно, что движение точки в прямоугольных декартовых координатах задается уравнениями:

(9)

Задачки динамики точки заключаются в том Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат, чтоб, зная движение точки, т. е. уравнения (9), найти действующую на точку силу либо, напротив, зная действующие на точку силы, найти закон ее движения, т.е. уравнения (9). Как следует, для решения задач динамики точки нужно иметь уравнения, связывающие координаты х, у, zг этой точки и действующую на нее силу (либо Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат силы). Эти уравнения и дает 2-ой закон динамики.

Разглядим вещественную точку, передвигающуюся под действием сил ., по отношению к инерциальной системе отсчета Охуг. Проектируя обе части равенства (2), т.е. равенства оси х, у, zг и беря во внимание, что и т.д., получим

(10)

либо, обозначая 2-ые производные по времени 2-мя Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат точками,

(10')

Это и будут разыскиваемые уравнения, т.е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Потому что действующие силы могут зависеть от времени t, от положения точки, т. е. от ее координат х, у, z, и от скорости, т. е. от , , то в общем случае правая часть каждого Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат из уравнений (10) может быть функцией всех этих переменных, т. е. t, х, у, z, сразу.

Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника . Для получения этих уравнений спроектируем обе части равенства на оси M t nb, т.е. на касательную М t: к линии движения точки, главную нормаль Мп, направленную в Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат сторону вогнутости линии движения, и бинормаль Mb


. Тогда, беря во внимание, что , , получим

(11)

Уравнения (11), где v=ds!dt, представляют собой дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ Задачки ДИНАМИКИ

(ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ПО Данному ДВИЖЕНИЮ)

Если ускорение передвигающейся точки задано, то действующая сила либо реакция Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат связи сходу находится по уравнениям (1) либо (2). При всем этом для вычисления реакции нужно дополнительно знать активные силы. Когда ускорение конкретно не задано, но известен закон движения точки, то для определения силы можно пользоваться уравнениями (10) либо (11).

РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ Задачки ДИНАМИКИ ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ

Движение вещественной точки будет прямолинейным, когда действующая Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат на нее сила (либо равнодействующая приложенных сил) имеет неизменное направление, а скорость точки в исходный момент времени равна нулю либо ориентирована повдоль силы.

Если при прямолинейном движении навести повдоль линии движения координатную ось Ох, то движение точки будет определяться первым из уравнений (10), т. е. уравнением

либо (12)

Уравнение (12) именуют дифференциальным уравнением Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат прямолинейного движения точки. Время от времени его удобнее поменять 2-мя уравнениями, содержащими 1-ые производные:

(13)

В случаях, когда при решении задачки нужно находить зависимость скорости от координаты х, а не от времени t (либо когда сами силы зависят от х), уравнение (13) конвертируют к переменному х. Потому что dVx/dt=dVx Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат/dx*dx/dt=dVx/dx*Vx, то заместо (13) получим

(14)

Решение основной задачки динамики сводится к тому, чтоб из данных уравнений, зная силы, отыскать закон движения точки, т. е. x=f(t). Для этого нужно проинтегрировать соответственное дифференциальное уравнение. Чтоб яснее было, к чему сводится эта математическая задачка, напомним, что входящие Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат в правую часть уравнения (12) силы могут зависеть от времени t, от положения точки, т. е. от х, и от ее скорости, т. е. от Vy=x. Как следует, в общем случае уравнение (12) с математической точки зрения представляет собой дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеющее вид .

Если для данной определенной Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат задачки дифференциальное уравнение (12) будет проинтегрировано, то в приобретенное решение войдут две неизменные интегрирования и и общее решение уравнения (12) будет иметь вид

(15)

Чтоб довести решение каждой определенной задачки до конца, нужно найти значения неизменных . Для этого употребляются обычно так именуемые исходные условия.

Исследование всякого движения будем начинать с некого определенного момента времени Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат, именуемого исходным моментом. От этого момента будем отсчитывать время движения, считая, что в исходный момент t=0. Обычно за исходный принимают момент начала движения под действием данных сил. Положение, которое точка занимает в исходный момент, именуется исходным положением, а ее скорость в этот момент — исходной скоростью (исходную скорость точка Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат может иметь либо поэтому, что до момента t=0 она двигалась по инерции, либо в итоге деяния на нее до момента t=0 каких-либо других сил). Чтоб решить основную задачку динамики, нужно не считая действующих сил знать еще исходные условия, т. е. положение и скорость точки в исходный момент времени.

В Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки - реферат случае прямолинейного движения исходные условия задаются в виде

При t=0 ,. (16)

По исходным условиям можно найти определенные значения неизменных и отыскать личное решение уравнения (12), дающее закон движения точки, в виде

(17)



differencialnaya-diagnostika-stepenej-umstvennoj-otstalosti.html
differencialnaya-diagnostika-zpr-i-shodnih-s-nej-sostoyanij.html
differencialnaya-psihologiya-referat.html