Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика

^ Дифференциал функции нескольких переменных
Функция , определенная в области и непрерывная в точке , именуется дифференцируемой в точке , если полное приращение в некой округи точки можно представить в виде:

,

где – неизменные; – нескончаемо малые, стремящиеся Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика к нулю при . Если не все значения равны нулю, то величина является нескончаемо малой первого порядка и именуется главной линейной частью приращения дифференцируемой функции либо ее полным дифференциалом. Величина является нескончаемо малой более высочайшего порядка Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика. Таким макаром, полное приращение дифференцируемой функции можно записать в виде .

Для дифференцируемых функций предел дела личных приращений к приращению соответственной переменной имеет конечный предел при , равный , т.е. из Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика дифференцируемости функции конкретно вытекает существование конечных личных производных этой функции и их равенство коэффициентам главной части разложения полного приращения.

^ Под дифференциалом независящей переменной обычно понимают приращение этой переменной, т.е. .

Полным дифференциалом функции именуется Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика основная линейная часть полного приращения этой функции .

^ Функция, имеющая дифференциал в данной области, именуется дифференцируемой в этой области. Если функция дифференцируема в данной области, то в этой области она непрерывна.

Аксиома. Дифференциал Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика функции равен сумме произведений личных производных этой функции на дифференциалы соответственных независящих переменных.

Подтверждение: Пусть функция дифференцируема, т.е. имеет дифференциал . Для определения коэффициентов разглядим полное приращение функции . Тогда личное приращение Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика функции по й переменной можно записать как . Отсюда следует, что . Переходя к лимиту при это равенство можно записать в виде . Подобные рассуждения справедливы для каждой из компонент. Таким макаром, с учетом Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика вышесказанного, выражение для полного дифференциала функции можно записать как:

.

Совокупа всех личных производных вектора можно рассматривать как координаты вектора, который именуется вектором-градиентом . При всем этом формула для вычисления полного дифференциала может рассматриваться как скалярное Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика произведение вектора-градиента и вектора с координатами, равными дифференциалам независящих переменных, который именуется вектором-приращением . Скалярное произведение воспринимает наибольшее значение при условии, что вектора – сомножители сонаправлены. Таким макаром, направление вектора-градиента является Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика направлением более сильного конфигурации функции.
^ Нужные условия дифференцируемости. Достаточные условия
Наличие конечной производной является нужным и достаточным условием для дифференцируемости функции одной переменной. Для функции нескольких переменных существование конечных личных производных Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика по всем независящим переменным, т.е. существование вектора-градиента в точке – нужное условие дифференцируемости функции. Но это условие не является достаточным для дифференцируемости функции многих переменных.

Достаточное условие дифференцируемости.

Аксиома. Для Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика того чтоб , определенная в области и непрерывная в точке была дифференцируема в этой точке, довольно, чтоб эта функция имела непрерывные личные производные в некой округи , и эти личные производные были непрерывны в точке Дифференциал функции нескольких переменных - Б. В. Новыш Высшая математика .

Следствием аксиомы является существование в некой округи точки ограниченного вектора-градиента , непрерывного в .


dielektrikov-soderzhashih-primesi.html
dieta-dlya-pravilnoj-energetiki.html
dieta-perehoda-chast-2.html