Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.

ТЕОРИЯ

· Ответ на Вопрос 1

аксиоматическое) определение действ чисел.

Непустое огромное количество ={x} частей x произвольнойприроды именуется множествомдействительных чисел, если производятся последующие условия:

IНа огромном количестве введена операция сложения частей, т.е. указан закон, согласно которому каждой упорядоченнойпаре частей x, y из поставлен в соответствие элемент из обозначаемый x+yй именуемый суммой частей x Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. и y так, что производятся последующие (теоремы сложения) условия:

(1)I В существует единственный нейтральный элемент (именуемый нулём при сложении) таковой, что для хоть какого x выполнено:

x+ = +x=x

(2)I Для каждого x существует единственный элемент из , именуемый обратным элементу x, обозначаемый (-x) и таковой, что

x+(-x)=(-x Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.)+x=

(3)I Для всех x, y, z

x+(y+z)=(x+y)+z(ассоциативность)

(4)I Для всех x, y из

x+y=y+x(коммутативность)

II На огромном количестве введена операция умножения частей, т.е. указан закон, согласовано которому каждойупорядоченнойпаре частей x, y из поставлен в соответствие элемент из именуемый произведениемx Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. наy и обозначаемый xy так, что выполнены последующие условия (теоремы умножения):

(1)IIВ существует единственный нейтральный элемент (единица при умножении) обозначаемый 1 таковой, что для хоть какого x :

x·1=1·x=x

(2)II Для хоть какого x { } существует единственный элемент из , именуемый оборотным к x и обозначаемый x-1 таковой, что Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.:

x· x-1=x-1·x=1

(3)II Для любыхx, y, z из :

x·(y·z)=(x·y)·z (ассоциативность)

(4)II Для любыхx, y, z из :

x·y=y·x(коммутативность)

так же для всех х и у производится или х> у,или у>х.

так же как и у хоть какого огромного Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. количества производится теорема полноты.( если х из Х и у из У,при этом х у то существует С из мн-ва рац чисел что х С у)

· Ответ на вопрос 2 Теор о сущ-нии верх/ нижней грани огромного количества.

Аксиома 1. (О существовании четкой верхней грани у ограниченного Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. сверху числового огромного количества)

Хоть какое непустое ограниченное сверху числовое огромное количество имеет точную верхнюю грань.

Подтверждение.

Пусть X , X и существует В такое, что для хоть какого x : x В.

Разглядим огромное количество E всех чисел, ограничивающих огромное количество X сверху.

E , потому что В E. Как следует, мы имеем Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. два огромного количества X и E, владеющих свойством:

X , E и для каждого x и для каждого В E x В.

А тогда согласно теореме V (полноты и непрерывности) огромного количества реальных чисел существует Во такое, что для хоть какого x и для хоть какого В E

x Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. Во В.

Из левой части неравенства x Во следует, что для хоть какого x : x Во Во ограничивает огромное количество X сверху Во E.

Из правой части неравенства следует, что для хоть какого В E: Во В, а потому что Во E, то Во – меньшее из чисел, ограничивающих огромное Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. количество X сверху

Во=supX.

Аксиома 2. (О существовании четкой нижней грани у ограниченного снизу числового огромного количества).

Хоть какое непустое ограниченное снизу числовое огромное количество имеет точную нижнюю грань.

Подтверждение.

Пусть , и – ограниченно снизу, другими словами существует А такое, что для хоть какого x : А x.

Разглядим огромное количество X={-x Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.; x }. Тогда для хоть какого -x : -x -А, другими словами огромное количество X ограничено сверху и согласно аксиоме 1 существует Во=supX для хоть какого x : x Во -x -Во -Во=inf

· Ответ на вопрос 3

Определение.

Молвят, что задана числовая последовательность, если указан закон, согласно которому каждому натуральному числу n Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. поставлено в соответствие число xn.

Беск малые -

0= xn для каждого >0 существует номер N таковой, что для каждого номера n>N: │xn│< xn (- , ).

Определение.

Последовательность, сходящаяся к нулю, именуется нескончаемо малой (б.м.).

Последовательность {xn} именуется нескончаемо большой, если (другими словами, если ).

· Ответ на вопрос 4

Число а именуется Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. пределом последовательности (1), если для каждого положительного числа >0) существует натуральное число (номер) N такое, что для хоть какого номера n>N:

│xn-a│ либо -

Определение.

Числовая последовательность именуется сходящейся, если она имеет предел, другими словами если существует число а такое, что а= xn существует а такое, что для Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. каждого >0 существует номер N таковой, что для каждого номера n>N: │xn-a│ .

Аксиома 2.

Неважно какая сходящаяся последовательность ограничена. Оборотное ошибочно.

Определение.

Последовательность именуется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Подтверждение.

.Пусть {xn} сходится. Докажем, что она ограничена.

{xn} сходится существует число а такое, что Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. для каждого >0, а означает и для =1>0 существует номер N=N(1) таковой, что для хоть какого номера n>N:

│xn-а│< =1 а-1

положим А=min{x1, x2,…, xN, a-1}

B=max{ x1, x2,…, xN, a+1}

Тогда для хоть какого n, n=1, 2, …: А В.

· Ответ на долбанный Вопрос Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. 5

Аксиома о единственности предела.

Неважно какая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Подтверждение. (от неприятного)

Пусть существует {xn}, такая сходящаяся последовательность, для которой есть два числа а и b, а

а= xn, b= xn, b>a.

потому что a

Возьмём = (b Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.-а)>0.

а= xn для каждого >0, а означает и для = (b-а)>0 существует номер N1 таковой, что для хоть какого n>N1: │xn-а│< (b-а).

b= xn для каждого >0, а означает и для = (b-а)>0 существует номер N2 таковой, что для хоть какого номера n>N2: │xn-b│< (b-а Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.).

Тогда для хоть какого n>N=max{N1, N2} производятся оба неравенства:

b- xn

Мы пришли к противоречию.

· Ответ на вопрос 6

Аксиома о ограниченности сх-ся посл-ти.

Неважно какая сходящаяся последовательность ограничена. Оборотное ошибочно.

Подтверждение.

I.Пусть {xn} сходится. Докажем Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов., что она ограничена.

{xn} сходится существует число а такое, что для каждого >0, а означает идля =1>0 существует номер N=N(1) таковой, что для хоть какого номера n>N:

│xn-а│< =1 а-1

Положим А=min{x1, x2,…, xN, a-1}

B=max{ x1, x2,…, xN, a Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.+1}

Тогда для хоть какого n, n=1, 2, …: А В.

· Ответ на вопрос 7

Арифметические характеристики сходящихся последовательностей.

Аксиома 3.

Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности.

xn=а, yn=b.

Тогда {xn+yn } сходится и её предел равен а+b.

Подтверждение.

xn=а для хоть какого n: xn=а+ n, где { n Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.} - б.м.

yn=b для хоть какого n: yn=b+ n, где { n} – б.м.

Тогда {xn+yn } сходится, т.к. n, n=1, 2, …: xn+yn=(а+ n)+(b+ n)=а+b+( n+ n),

{ n+ n } – б.м., как сумма 2-ух нескончаемо малых последовательностей { n} и{ n}.

Согласно лемме 2 §2 (xn Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.+yn)=а+b

Аксиома 4.

Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности, xn=а, yn=b.

Тогда {xnyn} сходится и её предел равен а∙b.

Подтверждение.

xn=а для каждого n:xn=а+ n, где { n} – б.м.

yn=b для хоть какого n: yn=b+ n, где { n} – б.м Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов..

Тогда для хоть какого n:

xnyn=(а+ n)∙(b+ n)=аb+а n+b n+ n n

Последовательности { n} и { n} нескончаемо малые по лемме 1 §2, { n n} – б.м., как произведение ограниченной на нескончаемо малую по аксиоме 1§2 xnyn=а∙b.

Аксиома 5.

Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности, xn=а, yn=b, b Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. 0.

Тогда { } сходится и её предел равен .

Подтверждение.

I.Пусть yn=b, b .

Тогда последовательность { }: 1) имеет смысл

2) сходится

3) её предел равен

1) { } имеет смысл, другими словами существует номер nо таковой, что для хоть какого n о: yn , другими словами { } определена.

По правде, т.к. yn=b для каждого 0, а означает и для Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. >0, существует номер N таковой, что для хоть какого номера n>N

│yn-b│< b-

Пусть b>0. │b│=b.

Тогда 0

Пусть b<0. │b│= - b.

Тогда ∙b

Тогда для хоть какого n N+1: yn и { } опеределена.

2) Покажем, что { } ограничена.

Для хоть какого n>N: или 0<

или yn< <0 │ │< { } ограничена.

3) Докажем, что Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. { } сходится и её предел равен .

Потому что yn=b для хоть какого n: yn=b+ n, где { n} – б.м.

Пусть n о: = = (b - yn) = n.

{ n } по лемме 3 §2 б.м., ибо {b- yn }={- n }– б.м.

А тогда = + - = + n , { n } б.м. и согласно аксиоме 1§2, = .

II. Докажем сейчас Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов., что{xn∙ }= { } сходится.

xn=а, = .

Тогда по аксиоме 3 { } сходится и её предел равен .

Аксиома 6.

Пусть {xn} сходится и xn=а.

Тогда {│xn│} сходится и │xn│=│а│.

Подтверждение.

xn=а для каждого >0 существует номер N таковой, что для хоть какого номера n>N: │xn- а│< .

Возьмём случайное >0, закрепляем Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. его. Тогда

n>N: ││xn│ - │а││ │xn - а│< │xn│=│а│.

· Ответ на вопрос 8

Определение.

Частичной последовательностью либо подпоследовательностью последовательности (1)именуется неважно какая последовательность вида

{xn1, xn2, …, xnk, …}, в какой номера n1

Неважно какая подпоследовательностьсходящейся последовательностисходится и имеет тот же предел.

Подтверждение.

Пусть Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. {xn} сходится а 0 N n>N: │xn-а│< и пусть { xn} - случайная подпоследовательность последовательности {xn}.

Докажем, что xn=а.

Потому что {nk} строго растет и : nk k, то по аксиоме §5 {nk} стремится к + 0, а означает и для E=N>0 номер K таковой, что k>K: nk>N >0 >K Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.: │xn-а│< а= xnk.

Число именуется частичным пределом{xn}, если {xnk} – её подпоследовательность такая, что xnk=

Определение.

Нижним пределом{xn} именуется =infМ.

Верхним пределом{xn} именуется =supМ.

1. М –ограниченно снизу и неограниченно сверху.

Тогда по определению =infМ, а =+ .

2. М – ограниченно сверху и неограниченно снизу.

Тогда по определению =supМ, а Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. = .

· Ответ на долбаный вопрос 9

Предельный переход в неравенствах.

Аксиома 1. Если, начиная с некого N, все xn ³ b, то

Следствие. Если, начиная с некого N, все xn ³ yn, то .

Принципиальное замечание. Заметьте, что если, начиная с некого N, все xn > b, то , другими словами при предельном переходе Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. серьезное неравенство может перейти в нестрогое.

Аксиома 2. («Теорема о 2-ух милиционерах») Если, начиная с некого N, выполнены последующие характеристики

1. ;

2 . ,

то существует .

· Ответ на вопрос 10

Однообразные последовательности.

Аксиома.

Неважно какая однообразная ограниченная последовательность сходится.

Подтверждение.

1. Пусть {xn} увеличивается и ограничена сверху, другими словами x1 x2 … xn … и В n: xn В.

Потому что Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. огромное количество {xn} всех частей последовательности ограниченно сверху, то sup{xn}=а.

Докажем, что xn=а.

sup{xn}=a 1) n: xn а

2) 0 N: xn>а- , а в силу возрастания {xn} n>N: а-

2) 1)

2. Пусть {xn} убывает и ограничена снизу Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов..

Тогда {-xn} растет и ограничена сверху. По правде x1 x2 … xn … - x1 - x2 … - xn …

{xn}ограничена снизу А n: А xn - xn -А {-xn} ограничена сверху и увеличивается. Тогда по доказанному в п.1 (-xn)=-а=sup{-xn}. А тогда а= xn=inf {xn}.

· Ответ на вопрос 11

Аспект Коши сходимости числовой Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. последовательности.

Аксиома.

Числовая последовательность сходится и тогда только тогда, когда она удовлетворяет последующему условию Коши:

0 N=N( ) n>N m>N: │xn-хm│< либо

0 N=N( ) n>N и p – натурального: │xn+p - хn│< .

Подтверждение.

1.Необходимость.

{xn} сходится а 0 N n>N: │xn- а│< .

Возьмём случайное 0, зафиксируем его и проверим Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. выполнение условия Коши.

{xn} сходится а 0, а означает и для нашего фиксированного >0, N n>N: │xn- а│< .

Возьмём произвольные n>N и m>N и разглядим │xn- хm│=│xn-а+а - хm│ │xn- а│+│xm- а│< + = , т.е. условие Коши выполнено.

2.Достаточность.

Пусть {xn} удовлетворяет условию Коши 0 n>N Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов., : │xn- хm│< .

Докажем, что {xn} сходится.

{xn} удовлетворяет условию Коши 0, а означает и для =1>0 N=N( ) n>N и m>N: │xn- хm│< .

Пусть m=N+1>N: │xn- хN+1│<1 n>N: xN+1 -1N+1: xn (xN+1 -1, xN+1+1).

Вне этого интервала могут находится х1, х2, …, хN.

Пусть А=min{х1, х2, …, хN, xN+1-1}

B Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.=max{х1, х2, …, хN, xN+1+1}

Тогда n, n=1, 2, …: xn [А, В] {xn} – ограничена, а тогда по аксиоме Больцано-Вейерштрасса (§9) из {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xnk}.

{xnk} сходится а: а= xnk.

Докажем, что а= xn.

По условию Коши, 0, >0, N n>N m>N: │xn- хm│< .

Положим m Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов.=nk k>N. Тогда xnk -

Устремим k + . Тогда по аксиоме 1 §4 (предельный переход в неравенствах для одной последовательности) получаем а- xn а+ │xn- а│ < │xn- а│< а= xn.

Определение.

Последовательность {xn}, удовлетворяющая условию Коши, именуется базовой.

Из аспекта Коши следует, что числовая последовательность сходится и тогда только тогда, когда она Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. фундаментальна.

· Ответ на вопрос 12

. Число .

Разглядим последовательность {(1+ )n}.

Обозначим элемент этой последовательности yn=(1+ )n.

Докажем, что {yn}сходится. Для этого покажем, что она увеличивается и ограничена сверху.

Используем формулу Бинома-Ньютона:

yn= (1+ )n=1+n· + · +…+ · +…+ · = =1+1+ (1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )

yn+1=1+1+ (1- )+…+ 1- )…(1- )+…+ 1- )…(1- )+ + (1- )…(1- )

1. {yn} строго увеличивается.

n, n=1, 2, …: yn и, не считая того, прибавилось ещё одно Дидактический материал к коллоквиуму 1. 1 семестра . Принимает: Клиндухов. положительное слагаемое (последнее).

2. {yn} ограничено сверху.

Для подтверждения заменим каждый множитель (1- )единицей, ибо k n (k-1

Используя неравенство k!=1·2·3·…·k 1·2·2·…·2=2k-1, k=1, 2, …, получим

yn<1+1+ didakticheskie-trebovaniya-k-sozdaniyu-predmetno-razvivayushej-sredi-v-doshkolnom-obrazovatelnom-uchrezhdenii.html
didakticheskie-zadachi-uroka.html
didakticheskij-material-k-kollokviumu-1-1-semestra-prinimaet-klinduhov.html